Memverifikasi Hasil dalam Geometri Menggunakan Kalkulus

Rumus yang digunakan dalam Geometri adalah sebagai berikut:

Luas segitiga = 0,5 * tinggi * dasar

Lingkar lingkaran = 2 * pi * r

Luas lingkaran = pi * r * r

Mari kita verifikasi masing-masing menggunakan kalkulus, pertama mari kita verifikasi area segitiga.

Mari kita ambil segitiga segi tiga ABC, mari kita gambarkan garis lurus dari salah satu verteks ke sisi yang berlawanan, sehingga bertemu dengan sisi yang berlawanan pada sudut kanan ke dasar. Pada intinya kami telah membagi segitiga asli menjadi dua segitiga siku-siku.

Mari kita memperoleh ekspresi untuk area segitiga menggunakan persamaan garis lurus sebagai Y = m * X + C .; Pertama, mari kita mendefinisikan luas segitiga sebagai penjumlahan dari dua area yang dilingkupi oleh dua sisi segitiga, ketinggian dan dasar. Ketinggian memotong dasar menjadi dua bagian.

Mari kita ambil sebuah segitiga skalena yang ketinggiannya 5 dan basisnya adalah 10. Biarkan titik persimpangan dari ketinggian dengan dasar menjadi asal atau (0,0). Jika tiga titik adalah A, B, dan C, maka jika titik persimpangan ketinggian dari titik A dan garis BC berada di D, maka koordinat titik A adalah (0,5), titik B adalah ( 4,0) dan titik C adalah (-6,0). Panjang ketiga sisinya adalah BC = 10; AC = sqrt (61) kira-kira sama dengan 7.8 dan AB = sqrt (41) kira-kira sama dengan 6.4.

Ketiga titik ini membentuk segitiga sebagai AB + BC> AC; AC + BC> AB; AC + AB> BC. Juga karena ketiga sisi segitiga tidak sama dengan segitiga adalah skalena.

Luas segitiga ini adalah 0,5 * dasar * tinggi = 0,5 * 10 * 5 = 25 unit persegi.

Mari kita verifikasi ini menggunakan kalkulus integral.

Kemiringan sisi AB adalah -tan (ABD) atau -tan (ABC) yang sama dengan -1.25. Persamaan garis AB adalah Y = 5 – 1.25X. Persamaan persamaan garis AC adalah Y = 5X / 6 + 5. Mari kita mengintegrasikan kedua ekspresi ini di antara batas yang sesuai.

Area yang dilingkupi oleh garis AB adalah integral (Ydx) antara x = 0 dan x = 4.

Integral (Ydx) tidak lebih dari 5X – 1.25 * X * X / 2. Antara batas area adalah 20 – 10 = 10.

Demikian pula daerah yang dilingkupi oleh garis AC dan asal adalah Integral (5x / 6 + 5) dx yang sama dengan 5 * X * X / 12 + 5 * X. Batas-batas integrasi adalah 0 hingga -6 yang mengevaluasi hingga 15-30 atau -15. Dengan mengambil nilai absolut, jumlah dari kedua area adalah 15 + 10 yang sama dengan 25. Ini mudah dihitung dengan ekspresi analitis untuk luas segitiga yang mengevaluasi hingga 25 unit persegi.

Mari kita ambil ekspresi untuk lingkaran lingkaran. Jika seseorang menganggap sektor kecil daerah d (theta). Area sektor ini akan menjadi r * sin (d (theta)). Ini dapat diperkirakan sampai r * d (theta) untuk nilai-nilai kecil d (theta). Jika satu mengintegrasikan ekspresi ini antara 0 dan 2 * pi, ini bekerja menjadi 2 * pi * r. Ekspresi ini merupakan ekspresi yang dikenal baik untuk keliling lingkaran.

Demikian pula mari kita lanjutkan untuk mengevaluasi ekspresi untuk Area lingkaran. Mari kita hitung panjang busur yang dilingkari oleh sudut kecil (theta). Lingkar tidak lain hanyalah r * d (theta). Luas sektor ini dapat diperkirakan hingga seluas segitiga sebesar 0,5 * r * r * * d (theta). Mengintegrasikan ekspresi 0,5 * r * r * d (theta) antara 0 dan 2 * pi, mengevaluasi ke pi * r * r yang menghitung dengan ekspresi untuk luas segitiga.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *